TRANSFORMASI GALILEO

 

                  Transformasi Galileo dapat dibedakan atas dua bahagian yaitu :

a.       Transformasi Galileo untuk koordinat dan waktu

b.      Transformasi Galileo untuk kecepatan dan percepatan

a.      TRASFORMASI GALILEO  UNTUK KOORDINAT DAN WAKTU

       Gambar 1.2 menunjukkan dua buah kerangka inersial S dan S¹. Misalkan kerangka acuan S berhubungan dengan pengamat yang diam relatif terhadap bumi dan memiliki sistem koordinat XYZ dengan titik asal O. Kerangka acuan S¹ berhubungan dengan pengamat dan memiliki koordinat X¹Y¹Z¹ dengan titik asal O¹, bergerak dengan kecepatan konstan v sepanjang sumbu X relatif terhadap kerangka acuan S. Mula-mula (saat t = t¹  = 0) titik asal kedua acuan berimpit. Dalam transformasi Galileo yang akan diturunkan ini, selang waktu yang dicatat oleh pengamat di S dianggap sama dengan yang dicatat oleh pengamat di S¹. Jadi, t = t¹,  y = y¹ dan z =z¹

             Gambar 1.2 :  Titik P adalah suatu kejadian. Setelah selang waktu t, titik asal koordinat S¹  (titik O¹) telah bergerak sejauh vt dari titik asal koordinat S (titik O)

    

             Setelah selang waktu t,  maka titik asal koordinat S¹ (titik O¹) telah bergerak sejauh vt dari titik asal koordinat S (titik O). Misalkan  OP = x = jarak kejadian P terhadap titik asal O dan  O¹P= x¹ = jarak kejadian P terhadap titik asal O¹. Dalam gambar berlaku persamaan bahwa :

O¹P = OP -  OO¹

x¹ =  x – vt

      Oleh karena itu Transformasi Galileo untuk koordinat dan waktu ditulis dalam bentuk                                                           

	x1 =  x - vt y1 = y z1 = z t1 = t

                                                                                                                                                   
        (1-1)

    


Sedangkan Transformasi Galileo kebalikannya untuk koordinat dan waktu adalah                                                                                                

                                                                                                                                                                        

x =  x1 + vt y = y1 z = z1 t = t1

                  (1-2)

a.      TRANSFORMASI GALILEO UNTUK KECEPATAN DAN PERCEPATAN

      Untuk memperoleh bentuk transformasi Galileo untuk kecepatan, adalah dengan cara     mendiferensialkan persamaan (1-1) terhadap waktu t, yaitu 

x¹ =  x - vt

                                               ( 1 - 4 )

      v   =  kecepatan benda I diukur oleh pengamat di kerangka acuan S

=  kecepatan benda II diukur oleh pengamat di kerangka acuan S¹

 v_x  =  kecepatan benda II diukur oleh pengamat di kerangka acuan S

      Untuk memperoleh bentuk transformasi Galileo kebalikan untuk kecepatan, adalah dengan cara mendiferensialkan persamaan (1-2) terhadap waktu t, sehingga diperoleh : 

                                                                                                                                                                

      Sedangkan bentuk Transformasi Galileo untuk percepatan dapat diperoleh dengan cara mendiferensialkan persamaan (1-3) terhadap waktu t, yaitu

              

      Dengan cara yan sama dapat diperoleh  percepatan menurut sumbu y dan z, yaitu    

Oleh karena itu  bentuk Transformasi Galileo untuk percepatan dapat ditulis dalam bentuk  persamaan di bawah ini      

                                  

Dari  persamaan (1-5) dapatlah disimpulkan bahwa F¹ = m a¹ sama  dengan  F = m a,  sebab ternyata a¹ = a.  Hal ini menunjukkan bahwa hukum-hukum mekanika berlaku sama, baik pada kerangka acuan S¹ ataupun pada kerangka acuan S. Ini adalah sesuai dengan prinsip relativita Newton.           

CONTOH 1.2

1.      Seorang pengamat A berada dalam bus yang sedang bergerak dengan kelajuan 15 m/s berpapasan dengan seorang pengamat lain B yang berdiri di tepi  jalan. Dua puluh detik setelah bus melewati pengamat B, maka pengamat B tersebut menyatakan  bahwa jarak sebuah sepeda motor yang sedang melaju dengan arah yang sama dengan arah bus adalah 400 m. Hitunglah koordinat sepeda motor menurut pengamat  A.

Penyelesaian :

      Diketahui   :     Pengamat B sebagai kerangka acuan diam S

                                 Pengamat A sebagai kerangka acuan bergerak S¹ yang  bergerak dengan     kelajuan    v = 15 m/s

                                 x = 400 m

                                  t = 20 s

      Ditanya      :     x¹

      Jawab         :     Gunakan transformasi Galileo, yaitu persamaan (1-1)

                                                x¹  =  x – vt

                                                     =  400 m – 15 m/s. 20 s

                                                     =   400 m – 300 m = 100 m

2.      Seorang pengamat duduk 6 m dari bagian depan sebuah bus yang sedang bergerak dengan kelajuan 20 m/s. Empat sekon setelah pengamat dalam bus melewati seorang pengamat lain yang diam dipingir jalan, sang sopir menyalakan lampu bagaian depan bus. Tentukan koordinat – koordinat kejadian ini menurut tiap-tiap pengamat

Penyelesaian :

      Diketahui :        Pengamat dipinggir jalan sebagai kerangka acuan diam S

                                 Pengamat dalam bus sebagai kerangka acuan bergerak S¹ yang  bergerak dengan  kelajuan  v = 20 m/s

                                 x¹ = 6 m

                                  t = 4 s

     Ditanya       :  a.  Koordinat kejadian menurut pengamat S¹

                                          b.  Koordinat kejadian menurut pengamat S

     Jawab         :  a.  Koordinat x dari kejadian menurut pengamat S¹  yang bererak bersama bus adalah x¹ = 6 m

                                 Jadi koordinat kejadian menurut pengamat S¹ adalah  (6 m, 0,  0)

                             b.  Koordinat x  dari kejadian menurut pengamat S  adalah

                                  x =  x¹  + vt

                                      =  6 m + 20 m/s. 4 s

                                      =   86 m

                     Jadi koordinat kejadian menurut pengamat S adalah  (86 m, 0,  0)